他需要给张教授举几个例子。

比如数字1。

这个启蒙的数字，在乔喻设计的这套体系中1的模态数将不再是一个固定不变的数值，而是会随着模态空间(α，β)的变化而展现出不同的模态特性。

它被记作n_α，β(1)。且因为在这个固定的公理体系下具备一些独特的性质。

比如模态单位数的自守性。

用公式表示就是：

这就意味着尽管模态空间在变化，但模态单位数在任何模态下始终表现为单位元素。

也就是说，无论模态如何变化，模态单位数始终具备1的概念性，但可能以不同的形式存在。

同时因为模态的变化，那么在不同的模态空间就需要展现出不同的模态依赖性。

比如在复数域中：

这里实质上已经引入了朗兰兹纲领的自守表示空间的概念。或者说把自守表示空间对应结构化。

同理如果要继续操作数字1，还能使用模态卷积的概念。在乔喻的构造中，模态卷积gm是一个极为重要的操作。

模态单位数在卷积中表现为模态卷积的中性元素，对于任意模态数n_α，β(n)有

除此之外，为了之后更好操作，模态单位数还要具备自指性。

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